Leopoldo Morales López

Universidad Autónoma de Barcelona

La dinámica combinatoria (forcing) para funciones tipo ’skew products’ en el cilindro

En el año 1964 Sharkovskiı̆ enunció y demostró un célebre teorema que supuso, entre otros aspectos, el inicio del estudio de lo que hoy conocemos como dinámica combinatoria en el intervalo. Este resultado afirma que la existencia de orbitas periódicas de un determinado periodo en una aplicación del intervalo “fuerza” la existencia de órbitas periódicas de otros periodos. Un refinamiento de este teorema es lo que conocemos como teorı́a del forcing de órbitas periódicas en el intervalo.

En el artı́culo Roberta Fabbri, Tobias Jäger, Russell Johnson y Gerhard Keller, A Sharkovskii-type Theorem for Minimally
Forced Interval Maps. Topol. Methods Nonlinear Anal.26 (2005),no. 1, 163-188, el Teorema de Sharkovskiı̆ fue extendido a una clase de funciones triangulares en el cilindro. Concretamente funciones continuas T : S^1 × I −→ S^1 × I donde T (θ, x) = (θ + ω, f (θ, x)) con ω ∈ R \ Q. A esta clase de funciones se las conoce en la literatura como skew-product en el cilindro.

Los objetos invariantes considerados en este caso, no son ya órbitas periódicas (ni tan solo objetos minimales) sino una generalización de curvas invariantes, que los autores llaman bandas periódicas. Intuitivamente una banda es un subconjunto compacto del cilindro tal que sus fibras en un conjunto residual de S^1. Una banda n-periódica es un conjunto de n bandas disjuntas que se aplican por la función de manera periódica entre ellas.

El trabajo que presentamos en esta charla, refina el resultado obtenido en Fabbri, Jäger et al, para obtener una teoría del forcing entre patterns de bandas periódicas. En particular demostraremos que la relación de forcing en el intervalo y en nuestra clase coinciden.